Что значит выделить полный квадрат трехчлена?

Выделение полного квадрата является одним из основных методов алгебры, позволяющим привести трехчлен в квадратичной форме. Этот метод часто используется при решении задач по алгебре и нахождении корней уравнений.

Правила выделения полного квадрата трехчлена достаточно просты. Для этого необходимо взять половину коэффициента перед переменной, возвести его в квадрат и добавить к обоим частям уравнения. Таким образом, трехчлен приводится к квадрату с суммой двух квадратов переменной и числа.

Пример. Дан трехчлен 3x^2 + 12x + 9. Для выделения полного квадрата необходимо взять половину коэффициента перед переменной, то есть половину от 12, получим 6. Возведем его в квадрат, получим 36, и добавим к обоим частям уравнения. Таким образом, трехчлен приводится к квадрату: (x + 6)^2 = 9.

Выделение полного квадрата трехчлена имеет множество применений. С его помощью можно упростить уравнения, решить квадратные уравнения, найти значения переменной, упростить формулы и многое другое. Поэтому освоение этого метода является важным для понимания и решения алгебраических задач.

Что такое полный квадрат

Полный квадрат применяется в различных областях математики и физики. Он может использоваться, например, для упрощения выражений или решения уравнений. Знание правил выделения полного квадрата помогает работать с трехчленами и выполнять различные операции над ними.

Рассмотрим пример выделения полного квадрата:

Дан трехчлен x² + 6x + 9. Чтобы выделить в нем полный квадрат, мы должны половину коэффициента при x возвести в квадрат и прибавить результат к трехчлену. В данном случае половина коэффициента при x равна 3, и полный квадрат получается таким: (x + 3)².

Использование полного квадрата позволяет существенно упростить выражения и решить задачи с помощью алгебры. Освоение правил выделения полного квадрата является важным шагом в изучении математики.

Правила выделения полного квадрата трехчлена

1. Первое слагаемое полного квадрата является квадратным корнем из квадратного трехчлена. Например, при выделении полного квадрата из трехчлена x^2 + 6x + 9, первое слагаемое будет равно (x + 3).
2. Коэффициент при первом слагаемом удваивается и умножается на второе слагаемое, а затем при втором слагаемом прибавляется к исходному трехчлену. Например, при выделении полного квадрата из трехчлена 4x^2 + 12x + 9, первое слагаемое будет равно (2x + 3), а второе слагаемое будет равно (2x + 3). Исходный трехчлен можно представить в виде (2x + 3)^2.

Правила выделения полного квадрата трехчлена могут быть использованы для факторизации квадратных трехчленов и решения квадратных уравнений. Выделение полного квадрата трехчлена позволяет упростить выражения и найти корни уравнений с помощью квадратных формул.

Правило 1: Коэффициент при x^2 равен 1

При выделении полного квадрата трехчлена важно учитывать, какое значение имеет коэффициент при x^2. Если данный коэффициент равен 1, то применяется следующее правило:

Пусть у нас есть трехчлен вида ax^2 + bx + c, где a = 1.

Для выделения полного квадрата применяется следующий алгоритм:

1. Раскрываем скобки в квадрате, используя формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
2. Полученное выражение сравниваем с данной нам формой трехчлена ax^2 + bx + c.
3. Решаем систему уравнений, приравнивая соответствующие коэффициенты у обоих выражений.
4. Из полученных значений находим неизвестные и записываем новое выражение в форме, соответствующей полному квадрату.

Например, пусть имеется трехчлен x^2 - 6x + 9. Так как коэффициент при x^2 равен 1, мы можем применить правило 1. После применения алгоритма получаем: (x - 3)^2, что является полным квадратом данного трехчлена.

Правило 2: Линейный член делится на 2 и возводится в квадрат

Второе правило позволяет выделить полный квадрат из трехчлена путем деления линейного члена на 2 и последующего возведения в квадрат.

Полный квадрат трехчлена представляет собой выражение, где первый и последний члены являются квадратами некоторого выражения, а второй член удовлетворяет правилу деления на 2 и возводится в квадрат.

Применение данного правила позволяет упростить выражение и раскрыть скобки. Например:

Пример 1:

Раскроем скобки и выделим полный квадрат трехчлена:

$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Таким образом, выражение $(x + 2)^2$ является полным квадратом трехчлена.

Примеры выделения полного квадрата трехчлена

Для наглядности рассмотрим несколько примеров выделения полного квадрата трехчлена.

Пример 1:

Выделим полный квадрат из выражения x² + 6x + 9:

Первым шагом проверяем, является ли данное выражение полным квадратом. В данном случае, мы видим, что первый и третий члены уже являются квадратами (x² и 3²), а второй член является удвоенным произведением корня первого и третьего членов (2 * x * 3 = 6x), что подтверждает полный квадрат. Таким образом, мы можем записать данное выражение как (x + 3²) или (x + 3)².

Пример 2:

Рассмотрим выражение 4x² - 12x + 9:

В данном случае, первый и третий члены уже являются квадратами (2x² и 3²), а второй член является удвоенным произведением корня первого и третьего членов (2 * 2x * 3 = -12x). Это говорит о том, что данное выражение является полным квадратом. Мы можем записать его как (2x - 3)².

Пример 3:

Рассмотрим выражение 9x² + 12xy + 4y²:

В данном случае, первый и третий члены уже являются квадратами (3x² и 2y²), а второй член является двукратным произведением корня первого и третьего членов (2 * 3x * 2y = 12xy). Таким образом, данное выражение можно записать в виде (3x + 2y)².

Таким образом, выделение полного квадрата трехчлена позволяет нам преобразовывать сложные выражения в более простой и компактный вид, что позволяет упростить дальнейшие математические операции.

Пример 1: x^2 + 6x + 9

Рассмотрим трехчлен данного вида: x² + 6x + 9.

Чтобы выделить полный квадрат из данного трехчлена, следуем следующим шагам:

1. Проверяем, является ли первое слагаемое полным квадратом. В данном случае x^2 является полным квадратом.
2. Проверяем, является ли последнее слагаемое полным квадратом. В данном случае 9 является полным квадратом (3^2).
3. Проверяем, совпадает ли второе слагаемое с удвоенным произведением корня первого и последнего слагаемого. В данном случае, 6 не совпадает с удвоенным произведением корня первого и последнего слагаемого (2 * √(x^2 * 9) = 6x).
4. Для поиска недостающего слагаемого, используем формулу (b/2)^2. В данном случае, (6/2)^2 = 9.
5. Добавляем найденное слагаемое и переписываем трехчлен в виде полного квадрата: (x + 3)^2.

Таким образом, полным квадратом трехчлена x^2 + 6x + 9 является выражение (x + 3)^2.

Пример 2: 4x^2 - 12x + 9

Для того чтобы выделить полный квадрат из данного трехчлена, выполним следующие шаги:

1. Проверим, является ли первый член полным квадратом. В данном случае 4x^2 является, так как это квадрат двучлена (2x)^2.
2. Проверим, является ли последний член полным квадратом. В данном случае 9 является квадратом числа 3.
3. Запишем квадратный корень из первого и последнего членов выражения. Получим: 2x и 3.
4. Разделим средний член трехчлена на 2. В данном случае -12x / 2 = -6x.
5. Возведем результат в квадрат. Получим: (-6x)^2 = 36x^2.
6. Складываем результаты второго и пятого шага. Получим: 36x^2 + 9 = 36x^2 + (3)^2 = (2x - 3)^2.

Итак, полный квадрат трехчлена 4x^2 - 12x + 9 равен (2x - 3)^2.

Пример 3: 9x^2 + 6x + 1

Рассмотрим трехчлен 9x^2 + 6x + 1.

Чтобы проверить, является ли данный трехчлен полным квадратом, воспользуемся правилом разложения квадрата суммы.

1. Первый шаг: возведем в квадрат половину коэффициента при x, то есть 3.

3^2 = 9

2. Второй шаг: умножим это число на коэффициент при x^2.

9 * 9 = 81

3. Третий шаг: добавим результат шага 2 к третьему члену трехчлена.

1 + 81 = 82

Получили число 82.

Чтобы убедиться, что полученное число является полным квадратом, возьмем корень из него.

√82 ≈ 9.05

Таким образом, трехчлен 9x^2 + 6x + 1 не является полным квадратом, так как его нельзя представить в виде квадрата бинома.

Пример 4: 2x^2 - 8x + 4

Найдем квадраты первого и последнего членов трехчлена и удвоим произведение среднего члена:

1. Первый член: (2x^2)^2 = 4x^4
2. Последний член: (4)^2 = 16
3. Средний член: 2 * 2x^2 * (-8x) = -32x^3

Теперь запишем полный квадрат трехчлена:

2x^2 - 8x + 4 = (2x^2 - 32x^3 + 16) + 4 - 16 = (2x^2 - 32x^3 + 16) - 12

Таким образом, полный квадрат трехчлена 2x^2 - 8x + 4 равен (2x^2 - 32x^3 + 16) - 12.