Что значит кратный корень квадратного уравнения

Кратный корень квадратного уравнения - это значение, которое является корнем уравнения с кратностью больше единицы. Если уравнение имеет кратный корень, то это означает, что данное значение является корнем уравнения, причем при его возведении в квадрат корень повторяется несколько раз.

Кратный корень квадратного уравнения может быть положительным или отрицательным числом. Например, рассмотрим уравнение x^2 - 4x + 4 = 0. В этом уравнении кратный корень равен 2, так как значение 2 является корнем уравнения, и когда мы возводим его в квадрат, получаем 4 - и это также является корнем уравнения. Таким образом, кратность корня равна двум.

Пример:

Решим уравнение 3x^2 - 6x + 3 = 0. Для начала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3x^2 - 6x + 3 = 0

3(x^2 - 2x + 1) = 0

3(x - 1)(x - 1) = 0

Теперь мы видим, что корень уравнения равен 1 с кратностью два, так как (x - 1)(x - 1) можно записать в виде (x - 1)^2.

Кратные корни в квадратных уравнениях могут иметь значимую роль при графическом анализе уравнения и определении вида его графика. Также, знание концепции кратных корней полезно при решении и доказательстве теорем, связанных с квадратными уравнениями. Понимание этой концепции поможет вам глубже понять свойства и особенности квадратных уравнений.

Кратный корень квадратного уравнения

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами a, b и c, корни могут быть как целыми, так и дробными числами. Если у квадратного уравнения имеется кратный корень, это означает, что корень встречается более одного раза в решении уравнения.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x^2 - 6x + 9 = 0. В этом уравнении имеется кратный корень x = 3, так как при подстановке значения x = 3, получим (3)^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0.

Кратность корня можно определить по его производной. Если при подстановке значения корня в производную уравнения получится нуль, это будет означать кратность корня. Например, для уравнения x^2 - 4x + 4 = 0, производная равна 2x - 4. Подставляя x = 2 (корень уравнения) в производную, получим 4 - 4 = 0, что говорит о кратности корня.

Объяснение и примеры

Для примера рассмотрим квадратное уравнение x^2 - 7x + 12 = 0. Здесь коэффициенты a, b и c равны соответственно 1, -7 и 12.

Чтобы найти корни этого уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac. Для данного уравнения D = (-7)^2 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1.

Если D > 0, то у уравнения два различных действительных корня. Если D = 0, то у уравнения два одинаковых действительных корня. Если D

В случае нашего примера, D = 1, что означает, что у уравнения два различных действительных корня, так как D > 0.

Для нахождения самих корней можно воспользоваться формулами:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a).

Подставляя значения коэффициентов a, b и c из нашего примера, получим:

x1 = (-(-7) + sqrt(1)) / (2 * 1) и x2 = (-(-7) - sqrt(1)) / (2 * 1).

Упростив выражения, получим:

x1 = (7 + 1) / 2 и x2 = (7 - 1) / 2.

Таким образом, корни нашего уравнения равны x1 = 4 и x2 = 3.

Квадратное уравнение:

Решение квадратного уравнения можно найти с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где D – дискриминант.

В зависимости от значения дискриминанта, квадратное уравнение может иметь разные типы решений:

• Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень.
• Если D , то уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексно-сопряженных корня.

Решение квадратного уравнения можно найти по следующим формулам:

Корни уравнения при D > 0:

x1 = (-b + √D) / (2a)

x2 = (-b - √D) / (2a)

Корень уравнения при D = 0:

x = -b / (2a)

Корни уравнения при D :

x1 = (-b + i√(-D)) / (2a)

x2 = (-b - i√(-D)) / (2a)

Где i – мнимая единица, такая что i^2 = -1.

Решение квадратного уравнения является кратным корнем, если оно повторяется несколько раз. Например, уравнение (x-2)(x-2) = 0 имеет кратный корень x = 2 в двукратном количестве.

Определение и свойства

У квадратного уравнения могут быть корни разной кратности. Самая низкая кратность корня равна 1. Если корень имеет кратность 2, это означает, что он встречается два раза. Если корень имеет кратность 3, это значит, что он встречается три раза, и так далее.

Свойства кратных корней квадратного уравнения:

1. Если уравнение имеет корень кратности 2, то оно имеет минимум два совпадающих корня. Например, уравнение (x-3)(x-3) = 0 имеет корень 3 кратности 2.
2. Если уравнение имеет корень кратности 3, то оно имеет минимум три совпадающих корня. Например, уравнение (x+2)^3 = 0 имеет корень -2 кратности 3.
3. Кратность корня может быть больше, чем его степень. Например, уравнение x^4 = 0 имеет корень 0 кратности 4, что означает, что корень 0 встречается четыре раза.

Кратные корни квадратного уравнения могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Например, уравнение (x+1)(x+1)(x-2) = 0 имеет корни -1 кратности 2 и 2 кратности 1.

Кратный корень:

Например, рассмотрим квадратное уравнение x² - 4x + 4 = 0. Раскрывая скобку, мы получаем (x - 2)(x - 2) = 0. Таким образом, корень уравнения равен 2, и имеет кратность 2. Это означает, что уравнение имеет два одинаковых корня, поскольку корень 2 встречается дважды.

Кратные корни могут быть полезны при решении квадратных уравнений и определении формы графика функции. Они могут указывать на наличие экстремума (максимума или минимума) в функции или на то, что график функции касается оси абсцисс.

При решении квадратного уравнения, важно учитывать кратность корней, так как она может влиять на количество их решений и на тип графика функции.