Дискриминант - это основной показатель, который позволяет определить характер и количество корней квадратного уравнения. Он вычисляется по формуле вычитания произведения коэффициента b на 4 и произведения коэффициента a на коэффициент c в уравнении ax^2 + bx + c = 0. Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней. Но что происходит, когда дискриминант равен нулю?
Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один и только один корень. Это означает, что уравнение имеет ровно одно решение. Как правило, этот случай возникает, когда у вершины параболы есть касательная линия, проходящая через ось x. Графически это выглядит как парабола, которая соприкасается с осью x в единственной точке.
Примером квадратного уравнения с дискриминантом, равным нулю, может быть x^2 - 4x + 4 = 0. Здесь а = 1, b = -4 и с = 4. Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти его значение: D = b^2 - 4ac. В данном случае, D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 0. Значение дискриминанта равно нулю, поэтому уравнение имеет только один корень. Для данного примера это будет x = 2. Графически этот корень представляет собой точку пересечения параболы с осью x.
Общая информация о дискриминанте
В алгебре и математическом анализе дискриминантом называется выражение, которое позволяет определить характеристики квадратного уравнения.
Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле:
Д = b^2 - 4ac
Значение дискриминанта позволяет определить, сколько и каких корней имеет квадратное уравнение.
Если дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных корня.
Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет один корень.
Если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Значение дискриминанта и его связь с корнями уравнения
Значение дискриминанта связано с корнями уравнения следующим образом: если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень – это случай кратных корней. И, наконец, если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней, а имеет только комплексные.
Примеры:
- Уравнение x2 – 4x + 4 = 0 имеет дискриминант D = (-4)2 – 4*4*1 = 0. В этом случае дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет один действительный корень, а именно x = 2.
- Уравнение 2x2 – 3x + 5 = 0 имеет дискриминант D = (-3)2 – 4*2*5 = 9 – 40 = -31. В этом случае дискриминант отрицателен, поэтому уравнение не имеет действительных корней, только комплексные корни.
- Уравнение x2 – 6x + 9 = 0 имеет дискриминант D = (-6)2 – 4*1*9 = 36 – 36 = 0. В этом случае дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет только один корень x = 3, при этом этот корень является дважды кратным.
Таким образом, значение дискриминанта позволяет определить, какой тип корней имеет квадратное уравнение: два различных действительных корня, один действительный корень или только комплексные корни.
Примеры использования дискриминанта при равенстве нулю
Когда дискриминант в квадратном уравнении равен нулю, это означает, что уравнение имеет только один корень. Рассмотрим несколько примеров для более ясного представления об этом:
Пример 1:
Решим уравнение x2 - 6x + 9 = 0.
Для начала найдем дискриминант: D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4(1)(9) = 0.
Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень. Найдем этот корень, используя формулу:
x = -b/2a.
Подставляя значения из уравнения, получим:
x = -(-6)/2(1) = 6/2 = 3.
Таким образом, уравнение x2 - 6x + 9 = 0 имеет единственное решение x = 3.
Пример 2:
Решим уравнение 2x2 - 4x + 2 = 0.
Найдем дискриминант: D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0.
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень. Решим его, используя формулу:
x = -b/2a.
Подставляя значения из уравнения, получаем:
x = -(-4)/2(2) = 4/4 = 1.
Таким образом, уравнение 2x2 - 4x + 2 = 0 имеет единственное решение x = 1.
Эти примеры демонстрируют ситуации, когда уравнение имеет только один корень при равенстве дискриминанта нулю. Это может быть полезным при решении квадратных уравнений и анализе их корней.
